Matematica aplicata, curs 1, an 1

Serii numerice

Definitie: Fie Un, n>=1 un sir de numere reale s.n. serie numerica o expresie de forma U1+U2+...+Un+...=∑ Un(cu n=1,∞) cu urmatoarea semnificatie:
S1=n1
S2=n1+n2
...
Sn=n1+n2+...+nn
(Sn) n>=1

1. Daca (Sn) n>=1 convergent si S=lim Sn cand n->∞ atunci seria este convergenta si are suma S
2. Daca lim Sn=∞ cand n->∞, ∑ Un s.n divergenta
3. Daca lim Sn cand n->∞ nu exista seria este oscilanta

Notatie:
Un - termenul general al serie
Sn - suma partiala de ordinul n asociata seriei
S - suma seriei

Seria geometrica ∑ q la puterea n, q apartine numerelor rationale
Sn= 1 + q + q la 2 + q la 3+...+q la n-1= (1-q la n)/(1-q), q diferit de 1

Criteriul lui Couchy pentru siruri
Definitie:Un sir Un, n>=1 de numere reale s.n. sir Couchy (sir fundamental) daca oricare ar fii ε>0 exista Nε apartinand numerelor naturale nenule a.i |Un + p - Un|<ε, oricare ar fii n >=Nε si p apartinand numerelor naturale nenule.